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1. a) Bei der Suche nach der ältesten Person scheiden die beiden Mädels bereits im Vorfeld aus, da sie ja im Handballteam nicht geduldet würden.
   Wegen Aussage 1 scheidet Bernwart aus, wegen Aussage 4 somit auch sein Zwillingsbruder Friethjof.
   Da nach Aussage 3 selbst Clint die Segel streichen muß, kann nur Dankwart Ältester sein.
   Als mögliche jüngste Person kommt Dankwart also kaum in Frage, auch Aloisia (Aussage 1), Friethjof (Aussage 2) wie ergo sein Zwilling Bernwart und Kunigunde (Aussage 3) finden Jüngere.
   Damit ist Clint Jüngster.
   b) Da außer Dankwart noch Aloisia wegen Aussage 1 älter als die Zwillinge ist, wegen Aussage 2 überdies neben Clint noch Kunigunde jünger, befinden sich die Zwillinge genau im Mittelfeld.
   Da es überdies nach der Vorgabe fünf Altersklassen mit je mindestens einem Jahr Abstand zueinander geben muß, die ferner auf die Spanne von vier Jahren beschränkt sein sollen, müssen die Abstände je genau ein Jahr betragen.
   Damit aber sind die Zwillinge genau im arithmetischen Mittel.
   Ihr Alter beträgt somit 72:6=12 Jahre. Also:
   Clint (10) < Kunigunde (11) < Bernwart und Friethjof (je 12) < Aloisia (13) < Dankwart (14)

 

 

2. Setzt man in die 1. Aussage die Teilaussagen ein, so erhält man:
   A + B + C = A + (A+7m) + 2A = 4A + 7m = 451m, also:
   4A = 444m, was bedeutet A = 111m.
   Gebäude B ist ergo 118m hoch.

 

 

3. a) Praktischerweise fährt man bei einer Geschwindigkeit von 60km/h in jeder Minute einer traditionell 60minütigen Stunde genau einen Kilometer, in 40 Minuten also deren 40.
   In einer halben Stunde hingegen fährt man immer halb so viele Kilometer wie in einer ganzen; in der Autobahnetappe also 130km:2 = 65km.
   Insgesamt legt der Fahrer also
   40km+65km = 105km zurück.
   b) Die Durchschnittsgeschwindigkeit errechnet sich stets aus dem Quotienten von Gesamtstrecke durch Gesamtzeit. In Stundenkilometer umgerechnet findet man:
   v=105km:70min=[:7 gekürzt]
   = 15km:10min=[*6 erweitert]
   =90km:60min = 90km/h.

 

 

4. Wenn man jede Kantenlänge einer Fläche verfünfzigfacht, multipliziert sich die Fläche bekanntlich mit 50*50 = 2500.
   Das Originalhaus hat somit eine Fläche von
   40cm²*2500 = 10*10.000cm².= 100.000cm².
   Da für den Quadratmeter gilt:
   1m² = 1m*1m = 100cm*100cm = 10.000cm²,
   verfügt das Haus also nur über magere 10 Quadratmeter, was es selbst für einköpfige Familien als nicht ausreichend erscheinen läßt.
   {Man könnte sich die Maßstabszeichnung exemplarisch auch als eine 8cm lange und 5cm breite Fläche vorstellen.
   Verfünfzigfache ich die beiden Seiten, so erhalte ich eine Fläche von
   [8cm*50 = 400cm=] 4m * [5cm*50=] 2,5m = 10m².}

 

 

5. Offenbar hat der Lottoschein 7 Euro gekostet, was nahelegt, den Gewinn in 7 Teile zu zerlegen, von denen Person 1 einen, Person 2 zwei und Person 3 vier erhält.
   a) Da ein jeder dieser Anteile
   840.000Eu:7 = 120.000Eu beträgt,
   erhält Person 3
   4*120.000Eu = 480.000 Euro.
   b) Nachdem Person 1 von seinem Gewinn in Höhe von 120.000 Euro ein Drittel, also 40.000 Euro, seiner Ex in den Rachen geschoben hat, verbleiben ihm noch 80.000 Euro.

 

 

6. Aufschlagen von 16% entspricht bekanntlich der Multiplikation mit dem Faktor 1,16.
   Es erweist sich als extrem günstig, nicht etwa die offiziellen Ladenpreise durch diesen Faktor zu teilen, sondern vielmehr die runden Beträge in Frau K's Börse mit dem Faktor zu multiplizieren.
   a) Ein Gerät, das ohne Mehrwertsteuer 300 Euro kosten würde, kostete nach deren Aufschlag
   300Eu*1,16 = 3*116Eu = 348 Euro.
   Frau K käme also haargenau hin.
   b) Mit dem unverhofften Fundstück kommt Frau K schließlich auf 400 Euro. Ein schwarz für diesen Preis über den Ladentisch wanderndes Produkt würde offiziell
   400Eu*1,16 = 464 Euro kosten.
   Der edlere Recorder liegt knapp darunter, weshalb er für Frau K unter Mißachtung der Steuerpflicht erschwinglich erschiene.

 

 

7. Man rechne, um sich die Umrechnung von Kubikzentimetern in Liter [Faktor 10³ = 1000!] zu ersparen, am besten gleich in Dezimetern:
   Ein Tetrapak hat das Volumen
   1dm*¹/₂dm*¹/₂dm = ¹/₄dm³ = ¹/₄l
   Eine Palette kommt somit auf
   40*¹/₄l = 10l.

 

 

8. a) Der Überholvorgang liegt bei Ankunft des schnelleren Fahrers genau anderthalb Stunden zurück.
   Dieser hat wegen der Relativgeschwindigkeit von
   (70-50)km/h = 20km/h inzwischen
   20km/h*1,5h = 30km Vorsprung gutgemacht.
   b) Der langsamere Fahrer war bis zum Überholvorgang 3,5 Stunden = 7/2 Stunden unterwegs gewesen.
   Da die Strecke [Geschwindigkeit*Zeit] bis zum Überholen bei beiden die gleiche sein soll, herrscht zwischen Zeit und Geschwindigkeit eine Antiproportionalität.
   Der 70/50 = 7/5 mal so schnelle andere Fahrer
   braucht für die gleiche Strecke nur
   5/7 der Zeit, also nur
   5/7*7/2h = 5/2h = 2,5h.
   Er muß ergo um 11 Uhr 40 losgefahren sein.
   (Wer nicht in Verhältnissen, sondern in Kilometern gerechnet hat, wird herausgefunden haben, daß bis zum Überholen beide Fahrer bereits
   175km = 3,5h*50km/h = 2,5h*70km/h
   zurückgelegt haben.)
   [Übrigens: Da der schnellere Fahrer insgesamt 4 Stunden unterwegs gewesen ist, beträgt die Gesamtstrecke
   4h*70km/h = 280km.
   Der langsamere braucht dafür
   280km:50km/h =5³/₅h = 5h36min.
   Die 36 Minuten braucht er für die letzten 30km!]

 

 

9. a) Offenbar reichen 300 Euro für 12 Tage, deren 1200 also für 48 Tage.
   b) Da das Produkt "Personen mal Tage" dem Urlaubsgeld proportional ist, ist es bei fester Menge Urlaubsgeld konstant. Somit sind die Größen "Personen" und "Tage" antiproportional zueinander.
   Erhöhe ich also die eine Größe um einen Faktor, so muß ich die andere durch ebendiesen teilen:
   Drei Viertel der Personen kommen vier Drittel mal so lange, also 64 Tage hin.
   Will man nicht mit Brüchen rechnen, so gehe man auf ein gemeinsames Vielfaches an Personen:
   Zwölf (=3*4) Personen kämen 48:3 = 16 Tage hin, drei (=12:4) also 4*16 = 64 Tage.
   c) Für 300 Euro muß Frau Ö. [72:3=] 24 Tage arbeiten, für 1200 also [24*4=] 96 Tage.

 

 

10. Zunächst einmal ist die Höhe der Kartons ohne Bedeutung, da Stapeln ja verboten ist. Da die Höhe überdies die größte der drei Ausmaße ist und wohl in nahezu jeder Ladehöhe eines LKW untergebracht werden kann, ergäbe es wenig Sinn, die Kartons zu legen.
    Ein Karton hat die Grundfläche
    0,3m*0,4m = 0,12qm.
    Theoretisch passen demnach 100 Kartons auf die Ladefläche des Lasters.
    Dieses kann allerdings praktisch nicht realisiert werden, obwohl die Breite der Ladefläche einem Vielfachen [*6] der Kartonbreite entspricht.
    Da 6 nämlich kein Teiler von 100 ist
    [100:6 = 50:3 = 16²/₃],
    können auf diese Weise in Längsrichtung lediglich
    100Div6 = 16 Kisten verstaut werden, insgesamt also
    16*6 = 96 Kisten.
    Man kann jedoch durchaus noch etwas mehr Kisten verstauen!
    Zunächst einmal wird man bemüht sein, möglichst nichts von der Breite zu verschenken, da die Länge der Ladefläche ja mit
    12m²:1,8m = 2m:0,3 = 20m:3 = 6²/₃m = 6,67m
    erheblich größer ist und verschenkte cm Breite somit mehrfach zählen. Zumal man ja mindestens 10cm Breite verschenken müßte!
    Die Möglichkeit, einfach die Kartons quer zu stellen, ließe so z.B. nur
    [1,8mDiv0,4m=] 4* [6,67mDiv0,3m=] 22 = 88 Kisten zu.
    Man entdeckt jedoch, daß man bei quer geladenen Kisten nur knapp 7cm in der Länge verschenkt [statt 27cm bei Längsladung!] und wird vielleicht bemüht sein, die 1,80m Breite durch möglichst viele Kistenlängen a 40cm auszufüllen, sodaß der Rest durch ein Vielfaches der 30cm Kistenbreite abgedeckt werden kann. Man findet:
    180cm = 3*40cm+2*30cm.
    Die dem gemäß quer aufgestellten drei Reihen a 22 Stück (s.o.) kämen auf
    3*22 = 66 Kisten,
    die zwei längs aufgestellten Reihen a 16 Stück auf
    2*16 = 32 Kisten.
    Insgesamt brächte man also
    (32+66) Kisten = 98 Kisten unter.
    Vollkommen gleichwertige Alternative:
    Man entdeckt beim Beladen in Längsrichtung, daß man ungünstigerweise 27cm, also fast eine Kistenbreite, verschenkt und packt geistesgegenwärtig nur je 15 Kisten längs, was
    [27cm+40cm=] 67cm Platz in der Länge übrig läßt
    - genug für zwei Kistenbreiten.
    Den verbleibenden Platz fülle man also mit zwei Reihen quergestellter Kisten (je 4) und bringt ebenfalls
    15*6+4*2 = 98 Kisten unter.
    [Bem: Man kann übrigens sehr leicht ausschließen, daß es noch eine verborgene Möglichkeit gäbe, 99 Kisten unterzubringen, da bereits auf den letzten knapp 7cm die Fläche einer Kiste verschenkt wird:
    6²/₃cm*180cm=20/3cm*180cm=20cm*60cm=40cm*30cm.]

Bem: Die folgenden Grafiken sind nur im Word sichtbar!

 

 

 

Schätzaufgaben

1. Wenn 1 Kuchen 2 Hälften hat, werden gut 22 Kuchen wohl gut 44 Hälften haben, gut 22 Millionen Kuchen also gut 44 Millionen Hälften, weshalb a) und d) sofort ausscheiden.
   Da aber bereits 22,5 Kuchen 45 Hälften besitzen, verbleibt b).
   
2. Beide Summanden unterscheiden sich den binomischen Formeln nach nur im gemischten Term:
   (a+b)² = a²+2ab+b² (1.Binomische Formel) und
   (a-b)² = a²-2ab+b² (2.Binomische Formel) ,also:
   (a+b)² +(a-b)² = 2a²+2b² = 2(a²+b²). Somit:
   301²+299² = (300+1)²+(300-1)² = 2*(300²+1)
   = 2*(90.000+1) = 180.002.

 

 

3. Es sei zunächst daran erinnert, daß man "Prozent von" durch "%*" ersetzen kann. Das Teilen der ersten Zahl durch hundert, das dem %-Zeichen entspricht, kann dabei durch insgesamt zwei Kommaverschiebungen nach links - und zwar beliebig auf die beiden Faktoren verteilt - erfolgen.
   Die Erkenntnis, daß die letzte Ziffer [wegen 6*6=36] eine Sechs sein muß, schließt hier keine der Antworten aus. Allerdings läßt sich die eine Zahl [26%] nach unten gut durch ein Viertel, die andere [196] nach oben durch 200 abschätzen.
   Da die grobe Abschätzung
   "gut 1/4*knapp 200 =ca. 50" zu ungenau ist, schätzt man getrennt ab:
   26%*196 > 1/4*196 = 1/2*98 = 49 (nach unten) und
   26%*196 < 26%*200 = 26*2 = 52 (nach oben).
   Es verbleibt c).

 

 

4. Alle Vorgaben sind ganzzahlig.
   Wären keine Vorgaben da, sollte man die gesuchte Wurzel zunächst durch "Zehnerquadratzahlen" abschätzen:
   Wegen 49 < 54,76 < 64
   ist 70 = Ö4900 < Ö5476 < Ö6400 = 80 .
   Lösung a) scheidet also aus.
   Überdies scheidet b) aus, weil das Quadrat von 72 als letzte Ziffer eine [2*2=] 4 haben muß.
   Es verbleiben c) und d), die ungünstigerweise sehr dicht beieinander liegen. Jedoch ist das Quadrat der dazwischen liegenden ganzen Zahl besonders einfach zu berechnen:
   [3.Bin. Formel: a² = (a-b)(a+b)+b² mit a=75, b=5]
   752 = 70*80+25 =5625 .
   Da diese Zahl größer ist als unsere Ausgangszahl, muß die gesuchte Zahl kleiner als 75 sein, also c) .

 

 

5. Hier führt schon die Betrachtung der letzten Ziffer zum Ziel:
   212¹/₇*14 = (212+1/7)*14 = 212*14+14/7
   = 212*14 +2.
   Ersichtlich muß die letzte Ziffer also wegen
   2*4+2 = 10
   eine Null sein, was nur b) innewohnt.

 

 

6. Zunächst einmal sei bemerkt, daß 0,1%, also ein Promille, ein Tausendstel ist.
   Grob abgeschätzt suchen wir also ein Tausendstel von Zehntausend, was b) und c) wie Seifenblasen zerplatzen läßt.
   Um die falsche Vorgabe auszuschließen, nützt uns die letzte Ziffer selbst hier nichts, wohl aber deren Lage:
   0,007%=0,007/100=7/100.000 .
   Das Neunfache davon sind
   63/100.000 = 0,00063 ,
   hat also fünf Stellen hinter dem Komma
   [ebensoviele wie 100.000=105 Nullen hat],
   weshalb d) richtig ist.

 

 

7. Multiplikation mit einem Siebtel stellt bekanntlich nichts anderes als eine Teilung durch Sieben dar.
   Die erste Abschätzung
   "gut 42 mit zwei Nullen : 7 = gut 6 mit zwei Nullen = gut 600"
   läßt bereits einzig a) und e) verbleiben.
   Um zwischen diesen beiden Zahlen ausschließen zu können, betrachte man erneut die letzte Ziffer; allerdings empfiehlt es sich in diesem Falle, von den Lösungsvorgaben rückwärts durch Versiebenfachung auf die mögliche Ausgangszahl zu schließen.
   [X:7=Y ist ja {*7} völlig äquivalent zu X=7*Y]
   a) Das Siebenfache von 602,73 muß [wegen 7*3=21] als letzte Ziffer eine Eins aufweisen - wie auch die Ausgangszahl 4219.11.
   e) Das Siebenfache von 603,37 hingegen muß [wegen 7*7=49] auf Neun enden, weshalb hierfür die Ausgangszahl nicht in Frage kommt. [Überdies ist 19,11:7<21:7=3 !]
   Also ist a) richtig.

 

 

8. Diese Aufgabe muß, da Größenordnung und letzte Ziffer nicht weiterhelfen, "zu Fuß" gerechnet werden.
   Bei Zahlen, die dicht an einer "runden" Zahl liegen, empfehlen sich zur Quadrierung stets die ersten beiden Binomischen Formeln, hier die zweite:
   395² = (400-5)² = 400² -2*5*400+5²
   =160.000-4000+25 = 156.025 , also a) .

Lösungen als .doc

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