LÖSUNGEN - Weitere Zahlenfolgen

  1. Man erkennt aufsteigende Quadratzahlen mit wechselndem Vorzeichen.
    Lösung = -6*6 = -36
    Wer das nicht sofort erkennt, wird zumindest bemerken, daß die Absolutbeträge in monotoner Regelmäßigkeit steigen:
    4 [+5=] 9 [+7=] 16 [+9=] 25 [+11=] 36
    Berücksichtigt man die alternierenden Vorzeichen, so kommt man schnell auf die Lösung.

    2.  

  2. Die Folge scheint der aus 5) aus dem IQ-Test zu ähneln, genügt jedoch völlig anderen Gesetzen.
    Zwischen den ungeraden und den geraden Folgegliedern finden sich stets Multiplikationen mit steigendem Faktor, die sich als Quadrierungen erweisen.
    Man erkennt insgesamt die Teilfolgen:
    (ungerade) 2 3 4 5 und (gerade) 22 32 42
    Beschränkt man hingegen seine Analyse auf die Einzelschritte, so wird man schwerlich zum Ziel kommen!

  3. Schreibt man die Folge in Brüchen (vgl.A1 des IQ-Testes), so erkennt man, wenn man Zähler und Nenner getrennt betrachtet, schnell (Zähler und Nenner je +1):
    7/3 8/4 9/5 [5/3=] 10/6 11/7 [12/8=] 1,5

  4. Wie in Aufgabe 4) des IQ-Tests fallen wieder die Proportionen auf. Es findet ungefähr eine Drittelung statt. Von rechts nach links gelesen findet man schnell:
    7 [*3-2=] 19 [*3-2=] 55 [*3-2=] 163
    Die Anweisung "*3-2" muß man lediglich noch umkehren und erhält die Anweisung "+2 ; :3" (nacheinander durchzuführen). Also:
    Lösung = (7+2):3 = 3
    Alternativ kann man auch die Drittelung der Abstände beobchten:
    163 [-108=] 55 [-36=] 19 [-12=] 7 [-4=] 3

  5. Hier findet man zunächst als mögliche Einzelschritte:
    -1 / +2 / *3 o. +4 / -4 o. :3 / +5
    Das sind zunächst einmal 4 Möglichkeiten.
    Eine Regelmäßigkeit - wenn auch eine dreifach alternierende - findet man jedoch nur, wenn man die jeweils erstgenannte Optionalvorschrift betrachtet. Macht man dieses, so entdeckt man Operationen mit aufsteigenden ganzen Zahlen, und zwar abwechselnd Subtraktion, Addition und Multiplikation:
    1 [-1=] 0 [+2=] 2 [*3=] 6 [-4=] 2 [+5=] 7 [*6=] 42

  6. Von rechts nach links gelesen erkennt man die Schritte
    2 [+5=] 7 [*5=] 35 [+6] 41.
    Es liegt also nicht ganz fern, nun den Schritt "*6" zu vermuten, der sich [wegen 41*6=246] bestätigt.
    Alles in allem lösen sich bei der eigentlichen Folge also Division und Subtraktion ab, wobei alle zwei Folgeglieder die Zahl, durch die geteilt / die abgezogen werden muß, um eins sinkt:
    246 [:6=] 41 [-6=] 35 [:5=] 7 [-5=] 2 [:4=] 1/2

  7. In dieser Folge findet man prinzipiell gleich 24=16(!) Möglichkeiten der Charakterisierung der einzelnen Schritte:
    2 [:2 oder -1 =] 1 [+2 oder *3 =] 3 [*2 oder +3 =] 6 [:2 oder -3 =] 3 [+2 =] 5 .
    Wie es scheint, läßt sich allerdings jeder der fünf vorgegebenen Schritte durch Operationen mit der Zahl 2 darstellen.
    Dabei fällt auf, daß, beschränkt man sich auf diese, erster und vierter [:2] sowie zweiter und fünfter [+2] gleich sind.
    Die Folge ist also 3-periodisch und der sechste Schritt muß dem dritten entsprechen, also "*2":
    2 [:2=] 1 [+2=] 3 [*2=] 6 [:2=] 3 [+2=] 5 [*2=] 10

  8. In dieser Folge kommt man mit rein algebraischen Methoden nicht weiter.
    Zunächst bemerke man, daß die Folge, solange sie steigt, immer genau verdoppelt. Lediglich die Schritte von 0,6 nach 0,2 und von 0,8 nach 0,6 erscheinen willkürlich. Es fällt allerdings auf, daß 0,6 und 0,8 die einzigen Zahlen sind, die größer als 0,5 sind. Würde man eine solche Zahl verdoppeln, so käme eine Zahl größer 1 heraus, und eine solche kommt offenbar nicht vor:
    0,6*2=1,2 bzw. 0,8*2=1,6 .
    Denkt man sich die 1 durch eine 0 ersetzt, hat man allerdings sofort den Nachfolger innerhalb der Folge.
    Der Schritt lautet daher also immer "(*2)MOD1", d.h. die Zahl wird jeweils verdoppelt und die eventuell vor dem Komma stehende 1 abgeschnitten. Der hinteren 0,6 wird somit abermals eine 0,2 folgen.

Die Zahlen 0,2 -> 0,4 -> 0,8 -> 0,6 bilden einen Viererzyklus, in den auch die 0,3 "hereinläuft". Die Zahl 0,5 hingegen liefe unter gleicher Vorschrift in den Einerzyklus (=Fixpunkt) 0.

Gäbe es übrigens einen Dreierzyklus, so würde ein bekanntes Gesetz hieraus Chaos [für die auf [0,1) definierte Funktion f(x)=(2x)MOD1] folgern, d.h. die Existenz von Zyklen beliebig hoher Länge.

 

 

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