Ein paar Hinweise:
Natürlich sollte man versuchen, das Gesülze in mathematische Gleichungen zu
fassen.
Neben dem Gehalt der Klarabella gibt es offenbar noch zwei weitere unbekannte
Größen, die eine Rolle spielen. Zwar ändern auch jene sich mit jeder neuen
Aussage, jedoch kennt man ja je den Zahlenfaktor, um den sie dieses tun.
Was auffällt:
Alle Relationen, die man in Gleichungen packen könnte, betreffen einen
Zeitpunkt, wo die 20% Ehezuschlag schon drauf sind.
Da jenes Gehalt weiter mit Faktoren multipliziert werden müßte, ist es
besser, man setzt nicht das gesuchte Gehalt VOR der Ehe, sondern das
unmittelbar danach als Variable.
Wenn man Letzteres hat, kann man ja immer noch die 20% (aber Achtung! 20% von
was?) rausrechnen.
Man erhält 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Wie man solche löst, hat hier vielleicht nicht jeder gelernt (wird im
Gymnasium meistens in Klasse 9 oder 10, in der Fachoberschule (wo ja meistens
ehemalige Realschüler ihr Fachabi machen) in der 11 oder 12).
Daher ein paar Überlegungen:
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2 Gleichungen mit
2 Unbekannten (Realschule und Gymnasium in Klasse 9):
Nehmen wir das System
(#1) 3x + 5y = 11
(#2) 5x + 3y = 13
(#1) könnte man umformen in die Gleichung:
(#1') y = -3/5x
+11/5 (= -0,6x + 2,2) ,
(#2) in:
(#2') y = -5/3x +
13/3
Wir haben also letztlich die Gleichungen für 2 Geraden unterschiedlicher
Steigung (Zahl vor dem x, wegen des Minuszeichens geht es je bergab).
Solche Geraden schneiden sich im 2-Dimensionalen immer in genau einem Punkt
(Paar aus x und y). Lediglich parallele Geraden "schneiden" sich
entweder auf jedem ihrer Punkte (wenn sie nämlich gleich sind) oder nirgendwo
(Höhenverschiebung verschieden, Steigung gleich).
Zurück zu den vorliegenden Gleichungen:
Da ich jetzt beide Ursprungsgleichungen nach einer Variablen aufgelöst habe,
könnte ich einfach die rechten Seiten von (#1*) und (#2*) gleichsetzen
("Gleichsetzungsverfahren") und hätte eine Gleichung,
wo nur noch x vorkäme.
Alternativ könnte ich auch (#1*) in(#2) oder (#2*) in (#1) einsetzen ("Einsetzungsverfahren")
und auch so verschwände das y.
Mache ich jetzt aber bewußt nicht, da diese beiden Verfahren für 3 und mehr
Unbekannte wenig komfortabel sind (wenn eine der Gleichungen hingegen nicht
linear ist, also z.B. x im Quadrat enthält, muß ich in jedem Falle auf diese
Verfahren zurückgreifen, da das folgende "Additionsverfahren"
nur bei linearen Gleichungen anwendbar ist:).
Vor dem x steht einmal die fünf, in der anderen Gleichung die 3 als Faktor.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 5 ist - da beides Primzahlen sind
- ihr Produkt, also 15.
Multipliziere ich also (#1) mit 5 und (#2) mit 3, so haben beide
resultierenden Gleichungen genau 15x, und wenn ich sie voneinander abziehe,
erhalte ich eine Gleichung, in der nur noch y vorkommt:
[(#):= 5* (#1) - 3*(#2):] 16y
= 16
Man erhält also y=1, welches man dann
in eine der Gleichungen einsetzt und rausfindet, daß x=2
ist..
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Wie
ist es jetzt aber im 3-Dimensionalen?
Nehmen wir die Gleichung:
(##1) 3x + 5y + z =
20
Auch in dieser könnte ich eine Variable freistellen und das ganze als
Funktion auffassen:
(##1') z = -5y - 3x + 20
Dieses ist aber nicht die Gleichung einer Geraden!
Ich habe ja nicht eine, sondern zwei Variablen (y und z), in die ich frei
einsetzen kann, also 2 "Freiheitsgrade"!
Somit handelt es sich um eine (2-dimensionale) Ebene!
(Die einfachsten Ebenen im 3-dimensionalen Raum wären ja z=0 (x-y-Ebene), y=o
(x-z-Ebene) und x=0 (y-z-Ebene).)
Nun, 2 Ebenen werden sich wohl kaum in einem einzigen Punkt schneiden, sondern
höchstens - wenn sie nicht parallel sind (wie z.B. zwei Stockwerke eines
Wohnhauses es zweckmäßigerweise sein sollten) - in einer Geraden!
Wenn ich jetzt aber eine dritte Ebene mit dieser Geraden schneide, könnte
genau ein Tripel (x,y,z) als Lösung rauskommen.
Könnte, muß aber nicht!
Die Telefonleitung ist z.B. 6 Meter über der Straße aufgehängt und
schneidet die Fußbodenebene nicht!
Und die Hochspannungsleitung kreuzt die Straße in 20m Höhe und schneidet den
Fußboden ebenfalls nicht!
Zum Fußboden - einer Ebenen - verlaufen beide Leitungen parallel.
Zwei Geraden müssen hingegen sich im 3-Dimensionalen weder
schneiden noch parallel sein!
Sehen wir doch in unserem Beispiel der beiden Leitungen!
Solche Geraden stehen zueinander windschief. Ob Ihr es glaubt
oder nicht::
Das ist der mathematische Fachbegriff für dieses Verhältnis zweier Geraden
zueinander!
In "Wer wird Millionär" hat mal jemand die Chance auf 500 000 Ohren
verpaßt, weil der sich nicht vorstellen konnte, daß die Mathematik derart
alberne Begriffe bemüht!
Warum diese Überlegungen?
Nun:
Wenn ich drei Gleichungen mit drei Unbekannten habe, würde ich ja mehr oder
weniger den Schnittpunkt dreier Ebenen suchen.
Dieses könnte ich z.B. tun, indem ich Ebene 1 mit Ebene 2 schneide (erste
Gerade) und dann Ebene 2 mit Ebene 3 (zweite Gerade) und dann den Schnittpunkt
dieser Geraden suche.
Nur gibt es diesen Schnittpunkt halt höchst selten!
Jeder von Euch könnte einfach blind zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten
erfinden und die hätten fast immer genau ein (x.y)-Paar zur Lösung.
Wer das aber bei 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten versucht, der wird fast immer
zu einem System ohne Lösung kommen!
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Gut, kommen wir also zu
den Fällen, wo es eine Lösung gibt!
Betrachten wir das folgende System:
(##1) 3x + 5y +
7z = 26
(##2) 5x + 6y + 8z =
35
(##3) 10x + 7y + 9z = 53
Hier kann ich nicht in nur einem Schritt gleich zu einer Gleichung mit nur
einer Unbekannten kommen.
Aber ich könnte trotzdem völlig analog zum besprochenen 2-dimensionalen Fall
die beiden oberen Gleichungen auf "15x" bringen und voneinander
abziehen.
Dann hätte ich nur noch eine Gleichung in y und z (die Schnittgerade der
beiden Ebenen):
[(#1):=5*(##1)-3*(##2):] 7y
+ 11z = 25
Bringe ich jetzt in analoger Weise (##2) und (##3) auf "10x" (was
ich bei der dritten Gleichung nicht mehr tun muß) und
ziehe sie voneinander ab:
[(#2)=2*(##2)-(##3):] 5y
+ 7z = 17 ,
so habe ich 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten und komme im üblichen Verfahren
(auf "35y" bringen und voneinander abziehen)
[(#):=5*(#1)-7*(#2):] 6z
= 6
auf die Lösung z=1, die ich dann in
(#2) einsetzen kann, um y=2 zu
erhalten, was z.B. in (##1) zu x=3 führt.
Also:
Ich nehme mir zwei Paare der 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten und eliminiere
dort eine der Unbekannten.
Aber bitte in beiden Fällen die Gleiche, sonst artet das in eine Beschäftigungstherapie
aus!!!
Jetzt habe ich nur noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, die ich in
altbekannter Weise löse!
Taucht eine der drei Unbekannten in einer der drei
Gleichungen nicht auf, so habe ich weniger Arbeit, wenn ich in den
verbleibenden beiden Gleichungen ebendiese Variable eliminiere.
Beispiel:
(##1)
3x + 5y + 7z = 26
(##2) 5x + 6y + 8z =
35
(##3) 10x + 7y
= 44
Hier werfe ich zweckmäßigerweise in den ersten beiden Gleichungen das
z raus und habe zusammen mit der dritten 2 Gleichungen in x und y
Hat gar nur eine der drei Gleichungen die dritte Variable, so bestimme ich
zweckmäßigerweise zuerst die Lösungen für die beiden anderen Variablen aus
den anderen beiden Gleichungen, um dann in die dritte einzusetzen.
Beispiel:
(##1)
3x + 5y + 7 z = 26
(##2) 5x + 6y +
= 27
(##3) 10x + 7y =
44
Hier macht es Sinn, zunächst das System aus
der zweiten und der dritten Gleichung - 2 Gleichungen in x und y - zu lösen.
In wieder anderen Fällen tauchen z.B. in allen 3 Gleichungen nur 2 Variablen
auf, aber stets ein anderes Pärchen.
Beispiel:
(##1) 3x + 5y
= 16
(##2) 5x + 8z = 31
(##3) 7y + 9z = 23
Hier kann ich z.B. in den ersten beiden Gleichungen x eliminieren, sodaß ich
zusammen mit der dritten Gleichung 2 Gleichungen in y und z habe.
Bem:
Völlig analog führt man auch ein System von 8 Gleichungen mit 8 Unbekannten
auf eines mit 7 Gleichungen und 7 Unbekannten zurück, jenes wieder auf 6
Gleichungen mit 6 Unbekannten, etc., bis ich bei einer Gleichung mit einer
Unbekannten bin, um dann von unten nach oben einzusetzen und successive alle
Werte der zuvor eliminierten Variablen zu erhalten.
Allerdings schreibt man in diesen Fällen die Gleichungen nur noch als
Zahlenmatrix hin (Gaußscher Algorithmus - wird in der Schule im Leistungskurs
der Klasse 12 gemacht, im Grundkurs nur gelegentlich. Muß aber jeder
Ingenieur, Informatiker, etc. können!).
weiter zur Aufstellung der Gleichungen
Lernmaterialien / Intelligenztraining
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