• Das Ziehen ganzzahliger Wurzeln ohne Hilfsmittel
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    Mit den richtigen Vorüberlegungen ist es möglich, im Kopf zweite Wurzeln aus vierstelligen Zahlen oder gar dritte Wurzeln aus sechsstelligen zu ziehen - sofern man von diesen Wurzeln weiß, daß sie ganzzahlig sind.

     

  • Gesucht sei etwa die Quadratwurzel aus 5329.
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    Die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, 36. 49, 64 und 81 und 100 dürften bekannt sein als Quadrate der Zahlen 1 bis 10.

    Da sich beim Quadrieren jeder Faktor mitquadriert, kennen wir damit auch die Quadrate der "Zehnerzahlen" 10, 20, ...90, 100, nämlich das 10*10=100-fache der einfachen Quadratzahlen: 100, 400, 900, ...8100, 10.000 .

  • Behauptung 1: 70 < Ö 5329 < 80
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    Dieses folgt daraus, daß gilt

    702 = 4900 < 5329 < 6400 = 802

    Da die Wurzel eine streng monoton wachsende Funktion ist, folgt die Aussage unmittelbar.

  • Behauptung 2: Ö 5329 = 73 oder = 77
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    Dieses können wir an der letzten Ziffer erkennen:

    Die letzte Ziffer des Quadrates einer ganzen Zahl muß nämlich mit der letzten Ziffer des Quadrates der letzten Ziffer übereinstimmen

    Das folgt z.B. aus der

    1.Binomischen Formel: (a+b)2 = a2+ 2ab+b2

    Sind etwa a die "Zehner" und b die "Einer", also die letzte Ziffer einer zweistelligen Zahl, so haben die ersten beiden Summanden a2 und 2ab zwei bzw. eine Null hinten und tragen nicht zur letzten Ziffer des Quadrates bei.

    Betrachtet man jetzt die ersten 10 Quadratzahlen, so stellt man fest:

    letzte Ziffer 1 oder 9 -> letzte Ziffer des Quadrates 1 [1, 81]

    letzte Ziffer 2 oder 8 -> letzte Ziffer des Quadrates 4 [4, 64]

    letzte Ziffer 3 oder 7 -> letzte Ziffer des Quadrates 9 [9, 49]

    letzte Ziffer 4 oder 6 -> letzte Ziffer des Quadrates 4 [16, 36]

    letzte Ziffer 5 -> letzte Ziffer des Quadrates 5 [25]

    letzte Ziffer 0 -> letzte Ziffer des Quadrates 0 [0, 100]

    Es fällt übrigens auf, daß die Endziffern 2, 3, 7 und 8 überhaupt nicht bei Quadratzahlen vorkommen! Daraus läßt sich z.B. schließen, daß 6652 keine ganzzahlige Wurzel haben kann!

  • Behauptung 3: Ö 5329 = 73
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    Als Vorüberlegung betrachte man die
    3.Binomische Formel: (a+b)(a-b) = a2-b2,
    was man [+b2] auch lesen kann als
    a2 = (a+b)(a-b)+b2.
    Ist a ein ungerades Vielfaches von 1/2, so wähle man geschickterweise b = 1/2 und muß zu dem Produkt zweier (benachbarter) ganzer Zahlen lediglich noch
    (1/2)2 = 1/4 = 0,25 hinzuzählen. Also z.B.:
    (7,5)2 = 7*8+0,25 = 56+0,25 = 56,25.
    [Analog: 1,52/2,52/ / / /10,52 =
    2,25/6,25/12,25/20,25/30,25/42,25/56,25/72,25/90,25/110,25]

    Genau diese Überlegung läßt sich durch Weglassen des Kommas auf ungerade Vielfache von 5 - also Zahlen mit einer 5 hinten - ausweiten.

    Insbesondere ist 752 = 5625 und wegen

    5329 < 5625 muß Ö 5329 < Ö 5625 = 75 sein,

    weshalb nur die 73 verbleibt.

     

  • Dritte Wurzeln
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    Die Quadrate zweistelliger Zahlen können wir vielleicht noch vermöge der ersten beiden Binomischen Formeln im Kopf ausrechnen, bei den dritten Potenzen wird es da schon schwieriger. Doch hat, wie wir sehen werden, die letzte Ziffer bei den dritten Potenzen eine noch größere Aussagekraft.

    Vorab folgende Tabelle:

    x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    x2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
    x3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

    Wir beobachten insbesondere, daß jede letzte Ziffer bei den dritten Potenzen genau einmal vorkommt, und zwar ist sie entweder:
    - die letzte Ziffer der Grundzahl, wie bei 1, 4, 5, 6, 9 und 0 oder:
    - das "Komplement" dieser Zahl, d. h. der Abstand der letzten Ziffer zur 10, wie bei den Endziffern 2, 3, 7 und 8.

    Für ganzzahlige Vielfache von 10 folgt wegen 103 = 1000 durch Anhängen von drei Nullen:

    x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
    x2 100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400 8100 10000
    x3 1000 8000 27000 64000 125000 216000 343000 512000 729000 1000000

    Merken wir uns nun die dritten Potenzen der Zahlen 1 bis 9, so stellt das Ziehen ganzzahliger dritter Wurzeln aus sechsstelligen Zahlen kein Problem mehr dar.

     

  • Gesucht sei etwa die dritte Wurzel aus 704.969

    Größenordnung: Vordere drei Ziffern:

    •

    704 liegt zwischen 83 = 512 und 93 = 729, daher liegt die gesuchte Zahl zwischen 80 und 90 und hat die erste Ziffer 8.

  • Endziffer:
    •

    Nur die dritten Potenzen von Zahlen, die auf 9 enden, enden, wie die gegebene dritte Potenz, auf 9.

    Somit lautet die gesuchte Zahl 89

  • Weitere Beispiele:

    Quadratwurzel aus 1444:

    •

    9 < 14 < 16, daher erste Ziffer 3.

    Letzte Ziffer muß 2 oder 8 sein.

    352 = 1225 < 1444, also ist 38 das richtige Ergebnis.

  • Quadratwurzel aus 3136:
    •

    25 < 31 < 36, daher erste Ziffer 5.

    Letzte Ziffer muß 4 oder 6 sein.

    552 = 3025 < 3136, also ist 56 richtig.

  • Kubikwurzel aus 35.937:
    •

    27 < 35 < 64, also erste Ziffer 3.

    Letzte Ziffer muß 3 sein, also 33.

  • Kubikwurzel aus 493.039
    •

    343 < 493 < 512, also erste Ziffer 7

    Letzte Ziffer muß 9 sein, also 79.

     

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    Wurzelsepp.doc

     

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